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H verschwindet identisch, danach wiirde jede durch P gehende Gerade die Bedingung der Tangente H = 0 erfiillen, und aIle diese Geraden treHen die F 2 in einem doppelt zu zahlenden Schnittpunkt. In diesem Falle ist P ein singularer Punkt der Flache, und es ist 43 § 21. Tangentialkegel, Tangentialebene, Tangente. in einem solchen Punkte keine Tangente und keine Tangentialebene vorhanden. N ur wenn der Beruhrungspunkt nicht singular ist, ist H = 0 eine notwendige und hinreichende Bedingung dafur, daB die Gerade eme Tangente ist.

Rier haben wir es in der Regel mit freien Vektoren zu tun. § 2. Addition, lineare Ahhangigkeit, Einheitsvektoren. Die Summe zweier Vektoren ist durch die Addition der Matrizen erkHirt. (v = 1,2,3). 33). Dann ist die Diagonale ---+ OC=c=a+o. Wie eine einfache geometrische Betrachtung zeigt, sind die Koordinaten von c gleich den Summen av + b•. § 2. Addition, lineare Abhangigkeit, Einheitsvektoren. 53 Alle Reehenregeln iiber Addition von Matrizen und Multiplikation mit einem Faktor gelten aueh hier.

Beweis: 0,0 und c seien drei Vektoren, die die Seiten eines Dreiecks bilden (Abb. 34). 34. :D, o+o=-c. c2 = 0 2 + 0 2 + 200. Wenn a, b, c die Langen der Dreiecksseiten und y der der Seite c gegeniiberliegende Winkel ist, so ist c2 = a 2 + b2 + 200. q:(o, 0) =Jt - y, ist o0 = a b cos (0, 0) . Verschwindet das innere Produkt, so sind die Vektoren ort hogo nal, d. h. sie stehen aufeinander senkrecht. Diese Ableitung ist hier unter Benutzung der vektoriellen Schreibweise durchgefiihrt worden und unterscheidet sich nur durch den Gebrauch dieses Hilfsmittels von der in Kap.

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